從高考命題看工科高等數學課程的教學改革

從2001年開始，我國基礎教育改革進入了一個新時期。新課程理念的貫徹實施直接對高考命題產生了指導性的影響。縱觀近幾年的高考數學試題，出現了大量與高等數學銜接緊密的問題。主要表現他們或以高等數學符號、概念直接出現，或以高等數學的概念、定理作為依托融于初等數學知識中，或體現高等數學中常用的數學思想方法和推理方法。本文對高考中涉及高等數學背景的題型進行歸類，通過分析各種題型所涉及高等數學知識點的考察范圍及難度來探討高等數學的教學改革。
一、近年來高考試題中涉及工科高等數學知識的考題類型及難度分析
1、涉及函數與極限部分的試題
這部分試題大都以客觀題的形式出現，分值不大，難度中等或較低，只需結合初等數學知識作簡單整理和代入。但是學生必須熟練掌握簡單極限的求法以及函數連續的定義。如（2009年陜西12題），（2009年湖北6題），（2011年四川5題）
2、涉及導數及其應用部分的試題
此類試題考試形式靈活，涉及導數的幾何意義、單調性、極值、最值、不等式的證明以及實際應用問題等，所占分值在12分左右。客觀題難度較低，主觀題第二小問通常有一定難度，而且有些問題需要借助于高等數學的定理來證明（例6需要拉格朗日定理作依托）。完整解答問題需要學生具有良好的數學素養，能全面考察學生能力。如（2011全國大綱卷8題），（2010安徽17題），（2010遼寧21題），（2011福建18題）
3、涉及向量及其運算的試題
直接涉及向量內積、向量夾角、向量間關系試題多以客觀題形式出現，立體幾何中證明線、面平行、垂直、求動點的軌跡、最值等“動態”型問題通常以主觀題形式考查且分值都在10份以上。主要考察學生用向量知識識把抽象的空間圖象關系、空間中的點、線、面的位置關系轉化為具體的數量關系，降低思維難度，淡化推理論證，簡化思維過程的能力。如（2011安徽13題），（2011全國大綱卷19題），（2010江蘇15題）
4、涉及定積分的試題
由于新課程標準的實施，涉及定積分制試點的試題出現在近年來全國新課標卷中，基本是以客觀題的形式出現，分值不高，主要考查定積分的定義、幾何意義以及簡單的計算。如（2011全國新課標9題）
除了涉及高等數學的知識點外，高考命題越來越注重“能力立意”。增加了有關數學建模思想、數學算法思想以及數學探究等開放性試題，在考查學生一般數學能力（思維能力、計算能力、空間想象能力）的基礎上，全面地測量學生觀察、試驗、聯想、猜測、歸納、類比、推廣等思維活動的水平以及抽象、概括并建立數學模型的能力。為了做好高中數學到高等數學的過渡和銜接，我們就本課程的教學改革給出幾點建議:
二、關于工科高等數學課程教學改革的幾點建議
1、明確教學目標，優化課程體系，整合教學內容
工科數學教學的基本任務是為培養跨世紀的工程技術人才而服務，使他們具有必要的數學能力，以適現代社會知識爆炸與科技高速發展的挑戰。因此，高校除了按照“工科院校高等數學課程教學基本要求”制訂教學目標外，還必須將培養學生思維能力、應用能力和自學能力放在教學目標的第一位。
課程體系與教學內容是實現教學目標的保障。課那么我們就應該對現有高等數學的教學內容作適當的修改和補充，對于高中已經講過的極限、導數、向量以及定積分的知識作系統的復習和高等數學的解釋，對于高中沒有涉及的知識點作翔實的論證，補充與高等數學知識相關的實際應用模型案例及習題，增加數學軟件應用的教學。
2、加強數學建模教學，提高學生的數學能力
高等數學的教學不能只講定理和公式的證明和解題方法，而應當和實際聯系起來提高學生分析問題和解決問題的能力。數學建模的思想和方法在這方面有很好的作用。模型準備是將實際背景轉化為數學問題；模型假設是抓住問題本質，忽略次要因素，做出必要、合理的簡化假設；模型構成是根據假設用數學語言和符號建立反映事物內在規律的數學模型；模型求解是利用各種數學方法以及數學軟件求出模型的解；模型分析是對所求解作誤差分析；模型檢驗是將問題的解與于分析結果拿到實際背景中去加以驗證，檢驗模型的合理性與實用性；模型應用就是將反復修改的模型應與于實際。因此，教師有意識的選取一些與教學內容密切結合的實例，將數學建模的思想方法有機的結合到課堂當中，不但可以加深對數學概念、方法的理解，而且也有利于學生的應用意識和數學素養的提高。
3、增加數學軟件教學，開設數學實驗，提高學生的理解能力和應用能力
高等數學的概念和定理比較抽象，要提高學生的興趣，加深對概念和定理的理解，就需要重現概念和定理產生的過程，將抽象的概念形象化，數學實驗的開設為我們提供了再現數學概念和定理的可能。另外隨著科技水平的不斷提高，數學和各學科的聯系越來越緊密，馬克思說“一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步”。數學模型的地位越來越明顯，而數學模型的求解、分析和驗證的過程大都是借助于數學軟件和計算機來完成的。因此，增加數學軟件教學就相當于給工科數學的教學添上了有力的翅膀，這雙翅膀使數學問題的求解更精確更快捷，為學生解決實際問題提供了強大的武器。
4、考試方式多樣化，給學生展現素質和能力的機會，鍛煉其自學能力
高等學校教育的目的是傳授知識、培養能力、提高素質。傳統的考試方法、教條化的命題、僵化的考試內容、“一考定終身”的閉卷筆試與素質教育的要求嚴重不相適應，考試效度和信度明顯下降。考試除了能夠保證教學質量、維持正常教學秩序之外，更重要的是通過考試能夠考查學生對基礎理論、方法的掌握情況以及利用所學知識分析問題、建立模型、解決問題的能力，考試不是為了給出學生在年級或班級中的名次，而是為了通過考試提供給學生表現自己所知所能的各種各樣的機會。因此，考試成績可以由卷面成績（主要是對基本概念、基本定理與計算方法的考核，以客觀題形式出現）、作業成績（教師提出實際問題，學生根據所學知識建立數學模型），論文或報告成績（自己選題，建立模型并討論模型的可行性）三部分構成。這樣，學生在學習的過程中的積極性和主動性將被充分調動起來，得到較好的教學效果，也可以更加全面地考核學生素質。